A Geometria não-euclidiana

A geometria não euclidiana é um assunto que podemos trabalhar e discutir facilmente em sala de aula, tornando-o mais interessante com a exibição do filme “Apolo 13 – do resgate ao triunfo” estrelado por Tom Hanks e dirigido por Ron Howard, que aborda o assunto num dos cálculos para a distância e trajetória da nave Apolo XIII, ou com a leitura do texto “Projeto Euclides” livro “Convite às Geometrias Não-Euclidianas”.

Os primeiros quatro postulados enunciados por Euclides são evidentes por eles próprios, já o quinto postulado apresenta um enunciado complicado e menos evidente por si próprio.

O desenvolvimento da geometria não-euclidiana foi um resultado de tentativas de lidar com este axioma.

A releitura do 5º postulado

O matemático escocês John Playfair, foi um dos muitos que procuraram substituí-lo por um equilvante mais aceitável e sua proposta foi a que hoje utlizamos nos textos escolares: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única paralela à reta dada.

Nas primeiras investigações sobre o Axioma das paralelas de Euclides, queriam transformá-lo em um teorema deduzido dos outros 4 postulados. Mas as tentativas falharam.

O fracasso fez com que os matemáticos voltassem para os métodos indiretos, ou seja, negar o quinto postulado instituindo uma redução ao absurdo, tentando deduzir uma contradição.

Dois pesquisadores empregaram esse método: Girolamo Saccheri e Johann Lambert. Ambos negaram o quinto postulado. Embora tenham falhado, todos trouxeram à luz várias conseqüências que são reconhecidas hoje como teoremas importantes de uma geometria não euclidiana.

Geometria Hiperpólica

O húngaro Janos Bolyai e o russo Nikolai Ivanovi Lobachevsky, na mesma época, só que separados pela distância, enfocaram o assunto através da forma de Playfair do postulado das paralelas, considerando três possibilidades: Por um ponto dado fora de uma reta pode-se traçar:

· mais que uma reta paralela à reta dada;

· exatamente uma reta paralela à reta dada;

· nenhuma reta paralela à reta dada.

Nenhum deles conseguiu chegar a uma contradição sob a primeira possibilidade e cada um deles começou a suspeitar de que nenhuma contradição poderia ocorrer e de que a geometria resultante era tão consistente quanto a geometria euclidiana. Surgia então a geometria hiperbólica.

Geometria elíptica

Em 1854 Riemann mostrou que se a infinitude de reta fosse descartada, e a reta fosse simplesmente assumida como limitada, então, com alguns outros pequenos ajustes nos demais postulados, outra geometria se desenvolveria nos moldes do terceiro caso acima.

Descobriu-se então que não há um, mas duas geometrias não-euclidianas: a gemotria de Lobatchevski (ou hiperbólica) e geometria riemanniana (ou elíptica). Relativamente ao axima de Playfair, estas duas geometrias não euclidianas correspondem aos axiomas:

Lobatchevski: Sejam dados em um plano um reta L e um ponto P que não está sobre L. Há, então, pelo menos duas retas que passam por P e são paralelas a L.

Riemann: Sejam dados em um plano uma reta L e um ponto P que não está em L. Não há, então, retas passando por P e paralelas a L.

Conclusão:

Um esquema lógico-dedutivo pode ser comparado a um jogo, e os axiomas do esquema são as regras do jogo. Quem quer que brinque com jogos, sabe que se podem inventar variações diferentes de jogos dados, e as conseqüências serão diferentes. Uma geometria não euclidiana é uma geometria jogada com axiomas que são distintos de Euclides.

MMM - Movimento da Matemática Moderna

Os pontos mais importantes da história do MMM.

Revolucionar a Matemática

A intenção era revolucionar o ensino da Matemática, para tanto houve mudanças curriculares, como a introdução à teoria dos conjuntos. Vários grupos de estudos espalhados pelo país e palestrantes de outros países relataram suas experiências da aplicação da Matemática Moderna no ensino, num congresso realizado em meados da década de 60, para expressar as motivações para esta revolução. Tais como combater as reprovações na disciplina que seriam causadas pelos métodos de ensino dos professores e promover um ensino mais atraente e simples.

Os professores

Concordo que o primeiro erro foi não preparar os professores. Muitos não participaram do debate e a referência da Matemática Moderna eram os livros didáticos. Eles não se inteiraram das informações teóricas e práticas e encararam mais fracassos dos alunos.

Morris Kline

A supervalorização da teoria dos conjuntos e o excesso de formalismo e simbolismo na linguagem, seriam os fatores que empobreciam a vida e o espírito da matemática, segundo o americano Morris Kline. Ele criticava também os aspectos cognitivos, dizendo que determinados conteúdos não eram apropriados para o ensino mais elementar.
As críticas vindas do exterior aliadas à insatisfação dos pais de alunos e professores, juntamente com a imprensa, serviu para o declínio da Matemática Moderna.


Não foi isso que esperava por exemplo o belga George Papy. O seu discurso é atual, mostra a necessidade de mudança no ensino e conteúdos programáticos da Matemática. Segundo o texto, no Congresso ele "Teceu críticas às formas tradicionais de ensinar matemática, quer sejam , a descontextualização das noções matemáticas, as formas mecânicas e repetitivas utilizadas na assimilação dos conceitos, o trabalho solitário e individual do aluno. Esperava que os conteúdos tivessem como ponto de partida situações contextualizadas, em prol de uma construção coletiva do conhecimento. Muito parecido com Kline que para motivar os alunos era conteúdos que mostravam as aplicações da matemática no cotidiano. Mas "há sempre uma prática diferenciada na apropriação dos objetos colocados em circulação."

Evarist Galois

A história de Evarist Galois é uma das que mais me fascina. Existe uma edição da RPM que romanceia um final feliz para o trágico duelo, que deixou Galois agonizando no hospital até o dia seguinte, deixando 60 páginas de registros de seu trabalho, que depois de examinadas 12 anos depois, descobriu-se tratar da complexa teoria dos grupos.

O cara era um gênio e foi fundamental na evolução da matemática. Um gênio incompreendido, ignorado, reprovado e rejeitado. Rejeitado não somente no Ingresso na Escola Politécnica, mas pela filha de um médico, Stéphanie-Felicie du Motel,que tinha outro pretendente, bom de gatilho, que o fez já prever sua morte no duelo e "em seus rabiscos aflitos, Evarist a chama de prostituta e deplora a trágica estupidez de ter se envolvido num combate de vida ou morte".

Teorema de Wilson

Antes de tudo, por que Teorema de Wilson e não teorema de Lagrange? O nome Wilson logo traz a lembrança do companheiro do Tom Hanks na desértica ilha do filme Náufrago. Mas o teorema é de enunciado bem simples: p é primo se, e somente se, p divide (p – 1)! + 1. John Wilson era professor de Matemática na Inglaterra e ficou conhecido por conjecturar o teorema que levou seu nome, mas como o salário de professor devia ser pouco, abandonou a carreira para estudar Direito e acabou se dando bem, tornando-se juiz. Ele era amigo e discípulo de Edward Waring que foi quem publicou o seu teorema sem prova. Demonstrado pioneiramente por Lagrange (1773), muito provavelmente o teorema de Wilson era uma suposição feita por ele, baseada na evidência de casos feitos que nem ele nem Waring souberam provar.


Disponível em http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/JohnWiso.html

"Em Matemática não existe figuras sem legenda, ainda que possa estar implícita"(KALLEF,2008)

Muitas vezes um aluno supõe "a olho" que um segmento de extremidade no vértice e no lado oposto a este vértice é sua altura ou sua bissetriz, determinando as medidas de seus ângulos internos baseado neste fato. O estudante deve se habituar a buscar informações do tipo "AD é bissetriz do ângulo BÂC" (legenda explícita) ou observar os dois arcos seccionados por um traço na própria figura (legenda implícita)

No livro Matemática Para Todos (IMENES, LELLIS; 2002), para aplicar a fórmula de área de figuras planas nos polígonos em uma questão, os autores optaram em colocar os respectivos nomes dos polígonos sob seus desenhos. Na mesma questão, uma figura é apresentada como losango, mas seus lados são paralelos às bordas da página, tal como um aluno é acostumado a visualizar um paralelogramo comum. Assim, o aluno aplica a fórmula do cálculo da área do paralelogramo para calcular a área de um losango, fixando melhor a idéia que todo losango é um paralelogramo.

Abraço,

Glauciley